Первичные дирекции, часть IV

В этой статье я рассмотрю средневековый метод вычисления первичных дирекций. На самом деле, это было не чем иным, как вариантом расчёта, описанным ещё Птолемеем в «Тетрабиблосе». Давайте рассмотрим средневековый алгоритм расчёта первичных дирекций как его описал ал-Кабиси.

Ал-Кабиси направляет Асцендент и точки, расположенные на нем, согласно косому восхождению; меридиан и точки, расположенные на нем - согласно прямому восхождению. Точно так же, как и Птолемей.

Если сигнификатор, который ты хочешь направить к градусу эклиптики, расположен на Асценденте, вычти косое восхождение градуса, который ты хочешь направить, из косого восхождения градуса, к которому ты направляешь. Остаток - градусы дирекции.
Если сигнификатор в градусе седьмого, вычти вычти косое восхождение градуса противоположного тому, в котором сигнификатор, из косого восхождения градуса противоположного тому, к которому ты хочешь направить.
Если сигнификатор в Середине Неба или в подземном углу, вычти прямое восхождение градуса сигнификатора из прямого восхождения градуса, к которому хочешь направить. Остаток - градусы дирекции.

Затем аль-Кабиси переходит к дирекциям сигнификатора, который расположен не в угловых точках.

Если сигнификатор, который ты хочешь направить, не в одном из этих четырёх углов, возьми расстояние от одного из двух углов, а именно Середины Неба или подземного угла. То есть посмотри, если сигнификатор между Асцендентом и Серединой Неба, вычти прямое восхождение градуса Середины Неба из прямого восхождения градуса сигнификатора; а если он между седьмым и Серединой Неба, вычти прямое восхождение градуса сигнификатора из прямого восхождения градуса Середины Неба. То, что останется в этих двух случаях, раздели на величину дневного часа градуса, в котором расположен сигнификатор. Результатом будет часовое расстояние от угла.
Если между Асцендентом и подземным углом, вычти прямое восхождение градуса сигнификатора из прямого восхождения градуса подземного угла. Если между подземным углом и седьмым, вычти прямое восхождение градуса подземного угла из прямого восхождения градуса сигнификатора. То, что останется в каждом из этих двух случаев, раздели на величину дневного часа градуса противоположного градусу сигнификатора. Результат - часовое расстояние от угла.

То есть, прежде всего, он находит часовое расстояние сигнификатора. Мы можем легко это сделать с помощью Калькулятора часового расстояния.

Когда ты знаешь часовое расстояние от угла и желаешь направить сигнификатор к точке эклиптики, а сигнификатор находится в восточной полусфере, которая от Середины Неба до подземного угла, следуя через Асцендент, вычти прямое восхождение градуса сигнификатора, который ты хочешь направить, из прямого восхождения градуса, к которому ты хочешь направить. Остаток - показатель прямого восхождения. Запомни его. Затем вычти косое восхождение градуса, в котором находится сигнификатор, из косого восхождения градуса, к которому ты хочешь его направить. То, что останется, будет показателем косого восхождения. Затем возьми разницу между показателем прямого восхождения и показателем косого восхождения. Затем возьми её шестую часть и умножь на часовое расстояние от угла. Результатом будет поправка. Если показатель прямого восхождения меньше показателя косого восхождения, прибавь поправку к показателю прямого восхождения. Если показатель прямого восхождения больше, вычти из него поправку. Что получится - дуга дирекции.

А если сигнификатор находится в западной полусфере, мы действуем так же с противоположными точками (противоположными сигнификатору и промиттору). Средневековые астрологи все ещё не используют косое захождение.

Это сердцевина алгоритма, суть средневекового способа вычисления первичных дирекций. Давайте последуем рассуждениям средневековых астрологов, чтобы понять, что и почему они делают.

Они знали, что точки горизонта должны направляться по косому восхождению (или захождению), точки меридиана должны направляться по прямому восхождению. Но как направлять точки между горизонтом и меридианом? по какому восхождению? Очевидно, не по косому и не по прямому. Но, возможно, по какому-то восхождению между косым и прямым. Это восхождение должны быть менее косым, чем косое, и менее прямым, чем прямое. Или, другими словами, оно более прямое, чем косое восхождение, и более косое, чем прямое восхождение. Что-то между ними, какое-то их смешение... Так они пришли к идее ещё одного вида восхождений - смешанным восхождениям.
Как Али ибн Ридван говорит в своих комментариях к «Тетрабиблосу»:

И поэтому дирекция в этом случае должна быть сделана по восхождению смешанному из восхождения места рождения и восхождения прямого круга.

Очевидно, что чем ближе точка к горизонту, тем её восхождение более косое, а чем ближе к меридиану, тем восхождение более прямое. Но как это представить математически? как это рассчитать? К счастью, у них уже было решение. Они нашли его в «Тетрабиблосе».
Птолемей анализирует свой пример, который мы рассматривали в предыдущей статье:

Но по тому же методу оно проходило 46 периодов, когда место пророгации восходило, 58 - когда место пророгации было в Середине Неба, и 70 - когда оно заходило.

То есть, если сигнификатор (0° Овна) был бы на Асценденте, тогда мы вычисляли бы по косому восхождению, и дуга дирекции была бы 46 градусов. Если сигнификатор был бы на МС, мы направляли бы по прямому восхождению, и дуга дирекции была бы 58 градусов. Если бы сигнификатор был на Десценденте, мы направляли бы по косому захождению, а дуга дирекции в этом случае была бы 70 градусов. Но сигнификатор находится между МС и Десцендентом, и дуга дирекции 64 градуса, то есть между дугами последних двух случаев (58 градусов и 70 градусов).

Таким образом, число экваториальных периодов для точки между Серединой Неба и Западом отличается от каждого из остальных. Так оно равно 64, а разность пропорциональна разнице в три часа, поскольку она составляла 12 экваториальных периодов, когда речь шла о других квадрантах между центрами, и только 6 экваториальных периодов в случае расстояния в три часа.

Сигнификатор отстоит от Середины Неба на 3 часа. Между Серединой Неба и Десцендентом 6 часов, то есть сигнификатор в середине этой дистанции (3 - половина от 6). С другой стороны, разница дуг дирекций, когда сигнификатор в Середине Неба и на Десценденте:
70 – 58 = 12
А половина от 12 - это 6.
И если мы прибавим 6 к 58, то получим настоящую дугу дирекции, а именно 64.
Это и есть решение - пропорция. Птолемей продолжает:

Ввиду того, что приблизительно одинаковое пропорциональное соотношение наблюдается во всех случаях, возможен более простой путь использования метода. Так, когда предшествующий градус  восходит, то мы будем использовать восхождения вплоть до последующего градуса; если он приходится на Середину Неба, то - восхождения прямой небесной сфере, если же он заходит, то - нисхождения. Однако в случае его расположения между этими точками, например, на вышеописанном расстоянии от Овна, нам следует взять вначале экваториальные периоды, соответствующие каждому из окружающих углов, и тогда мы обнаружим, что поскольку начало Овна, по нашему предположению, находится за верхней Серединой Неба, и расположено между ней и Западом, экваториальные периоды от Середины Неба и от Запада до начала Близнецов будут соответственно равны 58 и 70. Затем установим, как было показано выше, на сколько обычных часов предшествующий отрезок удалён от каждого из углов и какую долю они могут составить от шести обычных часов квадранта; мы будем добавлять или вычитать
из угла, с которым производится сравнение, эту долю разности между обеими суммами. Например, поскольку разность между упомянутыми выше величинами 70 и 58 равна 12 периодам и предполагалось, что предшествующее место удалено от каждого угла на равное количество обычных часов, то есть 3, что составляет половину от 6, то взяв также половину от 12 экваториальных периодов и либо прибавив её к 58, либо отняв от 70, мы получим результат, соответствующий 64 периодам.

И это ровно то, что учит делать ал-Кабиси.

Давайте рассчитаем пример Птолемея по алгоритму ал-Кабиси. Напомню, что сигнификатор в этом примере расположен в 0° Овна, промиттор в 0° Близнецов, Середина Неба в 17°30′ Тельца. Географическая широта места 31°12′ с.ш. (Александрия), а год - 150 н.э.

Сигнификатор расположен между Серединой Неба и Десцендентом, то есть в западной полусфере. В этом случае мы могли бы использовать косые захождения, но чтобы быть как можно средневековее, мы последуем ал-Кабиси и будем оперировать противоположными точками, то есть 0° Весов для сигнификатора и 0° Стрельца для промиттора.

Прежде всего, мы должны найти косые и прямые восхождения 0° Весов и 0° Стрельца. Мы можем это сделать с помощью Калькулятора восхождений и захождений.

0° Весов:
косое восхождение 180°0′;
прямое восхождение 180°0′.

0° Стрельца:
косое восхождение 250°45′;
прямое восхождение 237°46′.

Теперь мы должны найти разницы между их косыми и прямыми восхождениями, чтобы получить показатель косого восхождения и показатель прямого восхождения.

237°46′ – 180°0′ = 57°46′
250°45′ – 180°0′ = 70°45′

Теперь надо найти разницу между этими двумя показателями:

70°45′ – 57°46′ = 12°59′

Теперь нам надо найти то, что мы должны прибавить к разнице прямых восхождений (то есть к показателю прямого восхождения), чтобы получить разницу смешанных восхождений, то есть дугу дирекции. Мы делаем это через пропорцию. В предыдущей статье мы нашли, что часовое расстояние сигнификатора 2,9989 (мы рассчитали это с помощью Калькулятора часового расстояния). Поэтому мы должны поделить разницу между показателями на 6 и умножить результат на 2,9989.

12°59′ : 6 = 2°9′50′′
2°9′50′′ × 2.9989 = 6°29′21′′

Мы прибавляем это к показателю прямого восхождения:
57°46′ + 6°29′21′′ = 64°15′21′′

Когда мы в предыдущей статье рассчитывали дугу дирекции по первому алгоритму Птолемея, мы получили те же 64°15′.

Таким образом, мы можем заключить, что обычный средневековый способ вычисления первичных дирекций это не что иное, как второй алгоритм Птолемея.

октябрь 2003