Первичные дирекции, часть V

Средневековый способ вычисления первичных дирекций - это второй способ вычисления, описанный Птолемеем в «Тетрабиблосе». Тем не менее, хотя, по сути, это всегда второй способ вычислений Птолемея, всё же существует несколько вариантов расчёта. Мне известно, по крайней мере, три таких варианта. В этой статье я рассмотрю способы вычислений, отличные от способа, описанного ал-Кинди, который разбирался в предыдущей статье.

Первым мы рассмотрим способ, описанный Кушьяром ибн Лаббаном, астрологом рубежа X-XI веков.

Если градус находится между двух углов, мы берём его время восхождения на экваторе и для того города, и мы умножаем их разницу на часы расстояния того градуса от угла, и мы делим это на шесть. Полученное - равенство.
Если градус расположен между асцендентом и десятым или в противоположном этому, и <таким образом> остаток относится к времени восхождения на экваторе, мы вычитаем равенство из него, или же мы прибавляем равенство к нему. Если градус находится между асцендентом и четвёртым или в противоположном этому, и <таким образом> остаток относится к времени восхождения для города, мы вычитаем равенство из него, или же мы прибавляем равенство к нему. Полученное – время восхождения этого градуса, зависящее от его расположения.
Затем, мы получаем время восхождения того градуса, к которому мы продвинули это, через точно такую же операцию, или <мы используем сезонные> часы расстояния первого градуса от упомянутого угла. Затем, мы вычитаем время восхождения первого градуса из времени восхождения второго градуса.

Давайте рассчитаем дирекцию в примере из «Тетрабиблоса» описанным способом.

Пример из Тетрабиблоса

Сигнификатор в 0° Овна, промиттор в 0° Близнецов, Середина Неба в 17°30′ Тельца. Географическая широта места 31°12′ с.ш. (Александрия). Год - 150 н.э.

Поскольку сигинфикатор расположен в заходящей полусфере, мы будем работать с противоположными точками (так же, как и в предыдущей статье). Нам понадобятся прямые и косые восхождения точек, противоположных сигинфикатору и промиттору. Мы уже нашли их в предыдущей статье с помощью Калькулятора восхождений и захождений:

0° Весов:
косое восхождение 180°0′;
прямое восхождение 180°0′.

0° Стрельца:
косое восхождение 250°45′;
прямое восхождение 237°46′.

Часовое расстояние сигнификатора нам тоже уже известно - 2,9989.

Теперь мы должны взять разницу между прямым и косым восхождением сигнификатора (точнее, противоположной ему точки), умножить её на часовое расстояние и поделить на шесть:

(180°0′ - 180°0′) × 2,9989 : 6 = 0

Этот результат Кушьяр называет равенством и дальше прибавляет его или вычитает из прямого или косого восхождения сигнификатора (в зависимости от квадранта, в котором расположен сигнификатор). Нам эту процедуру проделывать не надо, поскольку поправка равна нулю.

Перейдём к промиттору и проделаем ту же операцию:

(250°45′ - 237°46′) × 2,9989  : 6 = 6°29′22′′

Здесь поправка уже не равна нулю. Расположение градуса в квадранте говорит, что мы должны применить поправку к прямому восхождению.

237°46′ + 6°29′22′′ = 244°15′22′′

Что мы получили в результате? Мы получили смешанные восхождения сигнификатора и промиттора. Рассмотренный в предыдущей статье способ вычисления ал-Кинди и Птолемея предполагает сперва найти разницу между восхождениями сигнификатора и промиттора и затем эту разницу перевести в смешанное восхождение, получая, таким образом, дугу дирекции. Кушьяр делает иначе. Он находит смешанные восхождения сигнификатора и промиттора, а затем находит их разницу и получает дугу дирекции:

244°15′22′′ - 180°0′ = 64°15′22′′

Результат то же самый.

Наконец, третий способ вычисления описан в книге итальянского астролога XIV века Антонио Монтульмо. Он подробно описывает расчёт в случае нахождения сигинфикатора в каждом из квадрантов. Рассмотрим для краткости только наш случай: сигнификатор в квадранте между Серединой Неба и Десцендентом.

Когда направляемый сигнификатор будет между 7 и 10, тогда вычти его восхождение в прямом круге из восхождения Середины Неба, и это будет расстоянием сигнификатора от угла. После этого вычти восхождение градуса сигнификатора, который хочешь направить, из восхождения того градуса, к которому хочешь направить, в прямом круге, и это будет показатель прямого круга, который сохранишь вместе с расстоянием. В-третьих, вычти восхождение надирного градуса, в котором находится направляемый сигнификатор, в косом круге из восхождения надирного места, к которому хочешь направить, в косом круге, и разница будет показателем местности. Тогда вычти показатель местности из показателя прямого круга или наоборот, если будет больше. Эту разницу умножь на сохранённое расстояние от угла, а результат раздели на половину дневной дуги градуса сигнификатора, и это число будет пропорциональной частью. Прибавь к или вычти из показателя круга согласно тому, что сказано.

Находим расстояние сигнификатора от угла. Нам понадобится прямое восхождение сигнификатора и прямое восхождение Середины Неба. Мы можем получить их, воспользовавшись Калькулятором восхождений и захождений:

Прямое восхождение 0° Овна - 0°0′
Прямое восхождение МС - 44°59′

44°59′ - 0°0′ = 44°59′

Теперь вычислим показатель прямого круга. Для этого нам понадобится прямое восхождение промиттора.

Прямое восхождение 0° Близнецов - 57°46′

57°46′ - 0°0′ = 57°46′

Далее следует найти разницу косых восхождений надирных градусов сигнификатора и промиттора. Надирные градусы сигнификатора и промиттора - это их противоположные градусы в нижней полусфере. Их косые восхождения мы уже находили в предыдущей статье:

Косое восхождение 0° Весов - 180°0′.
Косое восхождение 0° Стрельца - 250°45′.

250°45′ – 180°0′ = 70°45′

Мы получили показатель местности. Теперь мы должны найти разницу между показателями прямого круга и местности:

70°45′ – 57°46′ = 12°59′

В общем, пока мы повторяем способ, описываемый ал-Кинди. Но теперь мы переходим к вычислению пропорции, и это Монтульмо делает не так, как ал-Кинди.
Мы умножаем полученную разницу на расстояние от угла:

12°59′ × 44°59′ = 12,98333333333 × 44,98333333333 = 584,0336111109

Теперь мы должны разделить полученный результат на величину дневной полудуги сигнификатора. Дневную полудугу мы можем найти с помощью Калькулятора часового расстояния. Но поскольку сигинфикатор расположен в 0° Овна, то есть в точке весеннего равноденствия, то и без расчёта ясно, что дневная полудуга должна быть равна 90°.

584,0336111109 : 90 = 6,489262345677 = 6°29′21′′

Осталось прибавить к показателю прямого круга, чтобы получить дугу дирекции:

57°46′ + 6°29′21′′ = 64°15′21′′

Мы опять получили тот же самый результат. Отличие от способа ал-Кинди лишь в расчёте пропорциональной поправки. На самом деле, если принять во внимание, что дневной сезонный час равен поделённой на шесть дневной полудуге, и что часовое расстояние от угла есть расстояние в прямом восхождении поделённое на величину часа, то станет очевидно, что в обоих случаях мы считали одно и то же.

Итак, все три рассмотренных средневековых способа вычисления дирекций - это по сути одно и то же. Если представить весь процесс в виде математической формулы, станет ясно, что все три метода являются результатами преобразования одной формулы.

Отметим важные черты средневековых дирекций:

  • они основаны на алгоритме, описанном в «Тетрабиблосе» Птолемеем;
  • они вычисляются через смешанное восхождение;
  • направляются не планеты, а точки эклиптики (эклиптические проекции планет);
  • эти градусы эклиптики направляются к другим градусам эклиптики.

 декабрь 2003