Первичные дирекции, часть I

Первичные дирекции - предсказательный метод, основанный на суточном вращении небесной сферы. Поэтому, чтобы вычислять первичные дирекции, нам, прежде всего, понадобится математическая модель этого вращения. Первая такая модель появилась ещё в Месопотамии, но греческие астрологи начала нашей эры обычно называли её «согласно египтянам».

В этой модели время восхождения знаков изменяется согласно арифметической прогрессии, что, разумеется, является лишь приблизительным, очень неточным решением. От вавилонян этот метод перешёл к астрономам и астрологам эллинистического мира, мы можем встретить его у Гипсикла Александрийского в первой половине II века до н.э.: времена восхождений знаков увеличиваются в арифметической прогрессии от Овна до Девы, затем таким же образом уменьшаются от Весов до Рыб.

Рассчитанные на основе арифметической прогрессии времена восхождений знаков, а также и объяснение метода расчёта часто встречаются в работах астрологов первых веков нашей эры: у Марка Манилия, Ветия Валенса, Павла Александрийского, Антиоха Афинского (в изложении Ретория Египтянина) и т.д. Последний описывает метод расчёта следующим образом: «Например, в третьем климате большие времена, то есть от Рака до Стрельца - 210 лет, а меньшие времена, от Козерога до Близнецов - 150 лет. Если разделить эти времена на 15, что является временами равноденственного часа, то я получу продолжительность самого долгого дня равной 14 равноденственным часам, а самого короткого - 10 равноденственным часам. Затем мы возьмём от каждого из этих времён, от больших и меньших, шестую часть: большие - 210, шестая часть - 35; меньших - 25; их разница - 10. Третья часть от этого - 3 и 1/3, что представляет собой изменение каждого знака. Действуй подобным же образом и в отношении других климатов»*

Антиох о вычислении времён восхождений

Давайте шаг за шагом восстановим и разберём эту систему. Но прежде всего, над отметить особенность использования греческого слова ἔτος - год (210 лет, 150 лет). По-видимому, соотношение градус-год было настолько привычным, что в астрологических текстах той эпохи, когда речь идёт о восхождениях, год часто фактически означает градус. Это встречается не только в греческих текстах, но и в латинских (например, у Фирмика Матерна). Поэтому 210 лет и 150 лет следует понимать как 210 градусов и 150 градусов.

То есть, в третьем климате (где расположена Александрия, обычно расчёты делались именно для неё) за время восхождения 6 знаков долгого восхождения (от Рака до Стрельца) через меридиан пройдёт 210 градусов экватора, а за время восхождения знаков короткого восхождения (от Козерога до Близнецов) через меридиан пройдёт 150 градусов экватора. Самый долгий день в году - это день летнего солнцестояния, и, следовательно, пока Солнце над горизонтом, будут восходить только знаки долгого восхождения. Самый короткий день в году - день зимнего солнцестояния, и пока Солнце в этот день над горизонтом, восходят только знаки короткого восхождения. Чтобы измерить продолжительность самого долгого и самого короткого дня в равноденственных часах, следует градусы, проходящие через меридиан за день, разделить на число градусов, проходящих через меридиан за один равноденственный час, то есть на 15. Таким образом мы получаем продолжительность самого долгого дня 210 : 15 = 14 и продолжительность самого короткого дня 150 : 15 = 10.
Хотя далее продолжительность самого короткого и самого длинного дня не нужна, возможно, Антиох говорит об этой связи продолжительности самого долгого дня и восхождений для того, чтобы указать на простой способ запоминания необходимых в расчётах величин*.

Далее следуют расчёты связанные непосредственно с прогрессией. Вероятно, логика построения этой модели была следующей:
Есть 6 знаков долгого восхождения. Делим их восхождение на 6, чтобы получить среднюю величину восхождения долгого знака. 210 : 6 = 35
Есть 6 знаков короткого восхождения. Делим их восхождение на 6, чтобы получить среднюю величину восхождения короткого знака. 150 : 6 = 25
Разница между восхождениями среднего долгого и среднего короткого знаков 35 - 25 = 10.

Но поскольку не наблюдается скачкообразного изменения скорости вращения небесной сферы - сфера вращается равномерно - то восхождение быстрых знаков должно сначала постепенно ускоряться при переходе от медленных, а затем так же постепенно замедляться вплоть до перехода к медленным. Аналогично и для медленных знаков, скорость восхождения которых сперва убывает до минимальной величины, а потом возрастает. Очевидно, что максимально и минимальной скоростью должны обладать знаки, находящиеся в середине последовательностей знаков долгого и короткого восхождений, и должна быть симметрия скоростей восхождения знаков относительно самых быстрых и самых медленных. Таким образом, мы получаем три пары знаков быстрого восхождения и три пары знаков медленного восхождения. То есть разница между максимальной и минимальной скоростью должна распределяться между тремя парами знаков, поэтому делим эту разницу на 3 и получаем разницу прогрессии
10 : 3 = 3 1/3, то есть 3°20'.

Отсюда, три пары знаков долгого восхождения будут иметь следующие времена восхождений:

  • средняя пара - 35°;
  • пара медленнее среднего - 35° + 3°20' = 38°20';
  • пара быстрее среднего - 35° - 3°20' = 31°40'.

Три пары короткого восхождения:

  • средняя пара - 25°;
  • пара быстрее среднего - 25° - 3°20' = 21°40';
  • пара медленнее среднего - 25° + 3°20' = 28°20'.

Вавилонская схема времён восхождений знаков

 Поскольку мы имеем дело с арифметической прогрессией, она может быть представлена в виде ряда множителей для разницы прогрессии. В приведённом примере этот ряд будет следующим:
6,5 - 7,5 - 8,5 - 9,5 - 10,5 - 11,5.
Подобную запись мы встречаем у индийского астролога Варахамихиры: «Измерение знаков от Овна до Девы включительно даёт, соответственно, 5 – 6 – 7 – 8 – 9 и 10, умноженные на четыре; вторая половина [Зодиака] от Весов до Рыб – в обратном порядке».

Интересно отметить, что эта прогрессия соответствует 35°-36° с.ш., то есть скорее Месопотамии, чем Индии. Возможно, это указывает источник заимствования. По-видимому, Варахамихира плохо представлял себе, что означает приведённая им последовательность. Возможно, к его времени в Индии уже был потерян её астрономический смысл, и сохранилась лишь некая «священная» последовательность чисел. Иначе трудно объяснить тот факт, что он даёт восхождения практически не применимые в Индии, причём только одну прогрессию, и не упоминает зависимость прогрессии от широты. Кроме того, времена восхождений знаков остаются постоянными только в тропическом Зодиаке, в сидерическом они изменяются с течением времени в результате прецессии.
С другой стороны, можно заметить, что эта последовательность в точности не соответствует ни одному из стандартных семи климатов эллинистической астрологии, хотя и очень близка к четвёртому климату. Тем не менее, именно эти значения (разность прогрессии 4, время восхождений знаков долгого восхождения 216 и т.д.) можно найти у Веттия Валенса, именно на этом примере он объясняет восхождения. При этом Валенс приводит систему деления географической широты на семь зон отличную от стандартной системы семи климатов. Валенс основывается не на максимальной продолжительности дня, а на времени восхождения знаков долгого восхождения. В приводимой им системе в первой зоне это время восхождения равно 210, в седьмой - 234, а разница между зонами равна 4: «Увеличение каждой зоны в отношении установления времени восхождения одинаково: 210 в первой зоне от Рака до Стрельца, во второй зоне 214, в третьей зоне 218, в четвёртой зоне 222, в пятой зоне 226, в шестой зоне 230, в седьмой зоне 234».

Таким образом, если стандартная система климатов охватывает широты от 13° до 51°*, то система, приводимая Валенсом охватывает широты от 29° до 47°*.

Полученная вавилонская модель вращения небесной сферы очевидно не верна и с математической, и с астрономической точек зрения. Если арифметическое решение задачи определения времени восхождения имеет вавилонское происхождение, то корректный, тригонометрический метод, которым пользуются и по сей день - это одно из достижений греческой астрономии. Его появление можно датировать II веком до н.э., когда Гиппарх разработал методы тригонометрии и составил таблицы значений углов и соответствующих им хорд. На таблицах Гиппарха основывался и Птолемей. Можно сравнить значения времён восхождений для третьего климата, в котором расположена Александрия, согласно арифметическому методу и согласно тригонометрическому методу.

  Овен
Рыбы
Телец
Водолей
Близнецы
Козерог
Рак
Стрелец
Лев
Скорпион
Дева
Весы
Арифметический метод 21°40' 25°00' 28°20' 31°40' 35°00' 38°20'
Тригонометрический метод 20°57' 24°13' 29°50' 34°32' 35°36' 34°52'

Как видите, ошибка не только в значениях, но и в динамике изменения времён восхождений от знака к знаку. Нет постоянной разницы времён восхождений соседних знаков. Дольше всех восходят Лев и Скорпион, а не Дева и Весы.

После Птолемея среди астрологов встречается как использование арифметического метода, так и тригонометрического. Арифметический метод встречается даже в средневековых латинских текстах. Тем не менее уже греческие пост-Птолемеевские авторы указывают на то, что следует использовать именно тригонометрический метод, так как он точнее.
Например, Павел Александрийский в предисловии ко второму варианту своего «Введения» говорит: «...пересмотреть времена восхождений согласно правилам Птолемея... потому что мы нашли восхождения Птолемея более подходящими... Наконец, Аполлоний Лаодикийский в своих пяти книгах обвиняет египтян в том, что слишком обманулся в вычислениях времён восхождений знаков». Тем не менее, уже в следующей главе Павел приводит времена восхождений знаков по египтянам, то есть рассчитанные арифметическим методом.
Тригонометрия становится обычным инструментом астрологов только во времена арабов.

В следующей части мы рассмотрим метод вычисления первичных дирекций, которым пользовались греческие астрологи начала нашей эры.

март 2003